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\newcommand{\rrr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\inti}{I^\circ}

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\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}

\begin{document}
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\begin{titlepage}
\begin{multicols}{3}[\begin{center}
\textbf{\Large Analyse 20 \quad -- \quad
Fonctions convexes d'une variable réelle; applications.}
\end{center}][0cm]

\section{Définition}
% Roberts, 10

\begin{definition}
Soit $I$ un intervalle de $\rrr$. Une fonction $f: I \rightarrow \rrr$ est
dite \textbf{convexe} si $\forall\,x,y \in I$, $\forall\,\lambda \in {]0,1[}$,
$f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leqslant \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)$.
\end{definition}

\underline{Géométriquement:} si $P$, $Q$, $R$ sont 3~points du graphe de $f$
avec $Q$ entre $P$ et $R$, alors $Q$ est au-dessous de la corde~$[PR]$ (au
sens large). \\
$\{ (x,y) \in \rrr^2: y \geqslant f(x) \}$ est convexe.

\begin{center}
\vskip -4mm
\includegraphics[angle=90,width=45mm]{figure.eps}
\end{center}

En termes de \emph{pentes}: \fbox{$p(PQ) \leqslant p(PR) \leqslant p(QR)$}\,.

\vskip 2mm

Exemples: fonctions affines, $x^2$, $-\log$, $\exp$.

\section{Propriétés}
% Roberts, 11

Soit $f: I \rightarrow \rrr$ convexe. $\inti$: intérieur de $I$.

\begin{theoreme}
Si $I = [a,b]$, alors $f$ est majorée par $M = \max\{f(a),f(b)\}$ et
minorée (par $2f(\frac{a+b}{2})-M$).
\end{theoreme}

\begin{theoreme}
Pour tout $[a,b] \subset \inti$, $f|_{[a,b]}$ est lipschitzienne. Par
conséquent, $f$ est continue sur $\inti$.
\end{theoreme}

Contre-exemple: $f(a) = f(b) = 1$, et $f(x) = 0$ pour $a < x < b$.

\begin{theoreme}
Si $f$ est convexe, $f'_{-}$ et $f'_{+}$ existent et sont croissantes
sur $\inti$, et on a $f'_{-} \leqslant f'_{+}$.
\end{theoreme}

% [développement]
Exercice: pour $k$ entier $\geqslant 1$,
$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x).\cos kx.dx \geqslant 0$.

\begin{theoreme}
$f'$ existe sauf sur un ensemble $E$ au plus dénombrable et $f'$ est continue
sur $\inti \backslash E$.
\end{theoreme}

\section{Caractérisations}
% Roberts, 12

Soit $I$ un intervalle ouvert, et $f: I \rightarrow \rrr$.

%\begin{theoreme}
%$f$ est convexe ssi il existe $g: I \rightarrow \rrr$ croissante et
%$c \in I$ tels que $\forall\,x \in I$, $f(x) - f(c) = \int_c^x g(t)\,dt$.
%\end{theoreme}

\begin{theoreme}
Supposons $f$ dérivable. $f$ est convexe ssi $f'$ est croissante.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}
Supposons $f$ deux fois dérivable. $f$ est convexe ssi $f'' \geqslant 0$.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}
$f$ est convexe ssi pour tout $x_0 \in I$, il existe $m \in \rrr$ tel que
$f(x_0) + m(x-x_0) \leqslant f(x)$.
\end{theoreme}

$m \in [f'_{-}(x_0),f'_{+}(x_0)]$. Si $f$ est dérivable, $m$ est unique.

\section{Stabilité par certaines opérations}

\begin{theoreme}
L'ensemble des fonctions convexes sur $I$ est stable par $+$, multiplication
par un réel $\alpha \geqslant 0$, et passage à la limite si celle-ci existe.
\end{theoreme}

% Mais pas par multiplication (il faut ajouter: >= 0 et croissante).

\begin{definition}
On dit que $f$ est \textbf{log-convexe} si $f > 0$ et $\log f$ est convexe.
\end{definition}

Exemple: $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$.

Une fonction log-convexe est convexe.

\begin{theoreme}
L'ensemble des fonctions log-convexes sur $I$ est stable par $+$, $\times$,
et passage à la limite si celle-ci existe et est strictement positive.
\end{theoreme}

\section{Fonctions midconvexes}
% Roberts, 72

\begin{definition}
Une fonction $f: I \rightarrow \rrr$ est dite \textbf{midconvexe} si
$\forall\,x,y \in I$, $f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant
\frac{1}{2} (f(x)+f(y))$.
\end{definition}

(ssi on a l'inégalité de Jensen avec coef.\ rationnels)

\begin{theoreme}
Si $f$ est midconvexe et continue, $f$ est convexe.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}
Si $f$ midconvexe est majorée sur un ensemble de mesure non nulle, alors
$f$ est continue, donc convexe.
\end{theoreme}

% [développement]
\begin{theoreme}
Si $f$ est midconvexe et mesurable, alors $f$ est continue, donc convexe.
\end{theoreme}

\section{Applications: inégalités classiques}

\subsection{Inégalité de Jensen et ses applications}
% Roberts, 61; Arnaudiès p 239 à 242

\textbf{Inégalité de Jensen}: si $f: I \rightarrow \rrr$ est convexe,
$x_i \in I$, $\alpha_i > 0$ tels que $\sum_1^n \alpha_i = 1$, alors
\vskip -4mm
$$f\left(\sum_1^n \alpha_i x_i\right) \leqslant \sum_1^n \alpha_i f(x_i).$$

Pour $1 \leqslant i \leqslant n$, soient $x_i, y_i > 0$.

\textbf{Inégalité arithmético-géométrique}:
\vskip -4mm
$$\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \geqslant (x_1 \ldots x_n)^{1/n}.$$

\textbf{Inégalité de Minkowski}: si $p \geqslant 1$, alors \\
$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^p\right)^{1/p} \leqslant
\left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^n y_i^p\right)^{1/p}$.
% Pf: convexité de (1+t^p)^{1/p}

Application: permet de définir des normes dans $\rrr^n$.

\textbf{Inégalité de Hölder}: si $p, q > 0$ tels que $1/p + 1/q = 1$, alors
$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i \leqslant
\left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{1/q}$.

Application: comparaison des normes.

\subsection{Inégalité de Karamata}
% Beckenbach p 30

% [développement]
Soit $\phi: I \rightarrow \rrr$ convexe continue,
$x_1 \geqslant x_2 \geqslant \cdots \geqslant x_n$ et
$y_1 \geqslant y_2 \geqslant \cdots \geqslant y_n$ tels que $\forall\,k$,
$\displaystyle \sum_{i=1}^k x_i \geqslant \sum_{i=1}^k y_i$, et
$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i$.
% i.e. Y = AX, où A est doublement stochastique (a_{ij} >= 0,
% somme sur une ligne = somme sur une colonne = 1).
Alors $\displaystyle \sum_{i=1}^n \phi(x_i) \geqslant \sum_{i=1}^n \phi(y_i)$.

% Ovaert p 195
%Inégalités isopérimétriques\ldots

\vskip 2mm

\section*{Références}

\vskip -2mm

Roberts et Varberg: Convex Functions. \\
Beckenbach et Bellman: Inequalities. \\
Arnaudiès et Fraysse. \\
Ovaert: Analyse vol.\ 1.

\end{multicols}
\end{titlepage}
\end{document}